,,Трансцендентност'' броја Пи и проблем квадратуре круга

[Anika]

Извините, мене ово боли...

Математика је уметност и много више од занимљивих константи...

Морате имати неку подлогу и осећаја да бисте ушли у те воде, како то тако?

 

 

 

 

[Milan Nikolic]

Тања је лепо објаснила али ја сам тај који не може све да схвати. Ја бих пошао од нечега опипљивог.

На пример, хајде неко да покаже једначину од неколико геометријских примера и задатака. Ево потрудићу се да нацртам нешто као питање.

 

[Тања1]

Додатак на претходни пост (превод):

[Тања1]

Квадратура круга је иначе математички проблем, где се конструише квадрат са истом површином као одређен круг. Решење проблема, наравно зависи од тога које конструкције се дозволе. Ако се прате Еуклидови Елементи и само дозволи конструкција са шестаром и лењиром (то јест пресек између кругова и линија), проблем не може бити решен.  Pi је трансцендент (тј не-алгебарски), a када су све дужине, које се могу конструисати са шестаром и лењиром из једне  јединице - алгебарске, то зачи да је квадратура круга  нерешива са шестаром и лењиром.

Извор

Пошто Грци нису могли решити проблеме користећи три дозвољена правила, прибегли су додатним алаткама, као што је метода убацивања, конусни пресек и другe посебне криве. Уз то је било могуће да спроведу конструкције...Трисекција угла и методе

Квадратура круга. Ако AB представља тангенту Архимедове спирале (r = kφ)  после једног окретања (значи φ = 2π), онда је OB једнако обиму круга у кругу полупречника OA. Ово узрокује да је површина троугла OAB једнака површини круга са радијусом OA.

Извор/Kilde

...итд.

[Тања1]

Е, да, препоручујем и GeoGebra

Wikipedia

Иначе циљ сајта је да шири знање и за предаваче и ученике. Можете пронаћи савете, линкове и неке видео савете. Све на сајту може да се користи у настави и припреми, као референце на завршном испиту. ГеоГебра је софтвер развијен за наставу алгебра и геометрија. Доступна је на 39 различитих језика. Бесплатан софтвер и садржи разне функције које се употребљавају у свакодневној настави математике. И у геометрија/тригонометрија - настави у завршној фази школовања, у основној и еквивалентно гимназијском образовању, где би можда код гимназијског нивоа трабало да се фокусира на истраживачки део математике. Од основне школе до универзитета.

[Justin Waters]

Kad smo vec kod same transcendentnosti, stari Grci su krug smatrali savrsenom figurom, osnovom nekakvog postojanja, bozanskim oblikom itd...I jesu svakako imali pravo, od svih geometrijskih figura krug se cini nekako najjsavrseniji zato sto ima razna svojstva koja su nalik savrsenstvu sto se tice samih geomterijskih figura. Krug je simetrican po bilo kojoj osovini provucenoj kroc centar, centar kruga je jednako udaljen od bilo koje tacke kruznice, krug nema uglova, obim kruga je najmanji za zadatu povrsinu u odnosu na ostale pravilne geometrijeske oblike iste povrsine, kvadrat, istostranicni trougao, petougao, sestougao itd, koristeci sestar i lenjir krug je najjednostavnije nacrtati...Cini se nekako da su brojevi koji se nazivaju konstruktivnim tj koji se mogu konstruisati lenjirom i sestarom spadaju ujedno i u algebarske brojeve konstruktivni oblici iz koga se ti brojevi izvode imaju bar jedan ugao, pravilan ili sferican kako god. Pi je izveden iz kruga, geometrijske figure koja nema uglove recimo, onda je interesantna ta relacija da je nemoguce konstruisati duz koja je jednaka Pi.

[Тања1]

Можете ли да дођете до решења тамо где је Архимед одустао?
Лето је: шта је лепше од путовања на плажи, где можете освежити мало класичне грчке геометрије
Јенс Рамсков 2. јул, 2010

Не ометај моје кругове, рекао је математичар Архимед, док је седео на плажи код древне грчке колоније Сиракуза на Сицилији, када је нападнут од стране римљана 212 године пре.Х. Архимед је дизајнирао градско утврђење, али према легенди то су његове последње речи пре него што је убијен од стране римског војника, а затим град преплављен војницима. Са лењиром и шестаром Грци су могли решити низ геометријских проблема. Три главна проблема које су имали,међутим  морали су од њих одустати: Квадратура круга, удвостручене коцке и трисекција угла. Проблеми су мучили математичаре вековима. Прво  1837 француски математичар Пјер Лоран Ввантзел доказао је да је могућа тросекција једног одређеног угла и удвостручити волумен једне коцке. Он је показао трисекцију угла под углом од 60 степени, а да кубни корен од 2 не може да се конструише лењиром и шестаром. Године 1882 немачки математичар ЦЛ Фердинан вон Линдеманн показао је да је Пи трансцендентални број, а то значи да нема корен у неки полином са целобројним коефицијентима. Пошто знамо да сваки број који се може градити, има корене у једном полиному са степеном, чији је степен од 2, онда Пи не може да се конструише-  а и то исто не може ни квадратни корен од Пи - односно квадратура круга не може бити решена.

Преклапање папира решава геометријске проблеме. Уколико је одмор кишан, онда у затвореном простору одговара више за цртање линија него у песку, и преклапање папира. Вероватно ће већина бити изненађена да се савијањем папира могу решити два грчка проблема: дуплирање коцке и тросекција угла.
Савијање папира се сматра као уметност, пре свега, јапанска уметност у облику оригами. Али савијање папира је такође познато и у другим земљама. "Alex's Adventures in Numberland", од Friedrich Fröbel већ у Немачкој средином 1800-их користи преклапање папира у геометрији. Он је био инспирација индијском математичару Сундара, који је 1901 обајвио књигу "Geometric Exercises in Paper Folding". Овде је тврдио да је оригами математички метод, који је у многим аспектима био изнад грчке геометрије са лењиром и шестаром. Види слику:

Spoiler

 

Bevis (у преводу: Доказ) Тросекција угла са оригами: Извор/Kilde Hisashi Abe, 1980. Фото/Foto : Thomas Hull

 

Пресавиј у кубни корен
Пробој је дошао 1936. Тада је италијански математичар Margherita Piazzolla Beloch са универзитета Феррара показао да се из основе једне дужи Л на комаду папира може преклопити једна дуж, чији је кубни корен од Л. Као што, наравно, могло се преклопити прво до 2Л, могло се такође одвијати на кубни корен од 2 Л - и на тај начин удвостручи коцка. ПОГЛЕДАЈ више овде (енглески).

Beloch је такође показао трисекцију угла преклапањем. Тиме су решена два највећа проблема, која се нису могли решити у грчком стилу.
Пада ли киша тамо далеко, или сте уморни од класичне грчке геометрије, гуглајте оригами математику  и имена Beloch и Haga. превод кој нисам стигла поставити на блог.
Извор/превод Тања1

 

[Justin Waters]

4 minutes ago, Тања1 рече

Beloch је такође показао трисекцију угла преклапањем. Тиме су решена два највећа проблема, која се нису могли решити у грчком стилу.
Пада ли киша тамо далеко, или сте уморни од класичне грчке геометрије, гуглајте оригами математику  и имена Beloch и Haga.

Ima ovdje